Семейство неизопараметрических  моделей конечных элементов.


В настоящее время все известные  нам модели конечных элементов построены основе   интерполирования с равноотстоящими  узлами..  Поэтому  они получили название изопараметрических  моделей. Эти модели используются для двух целей  : 

    1. для вычисления значений функции  между узлами интерполяции;

    2. в  качестве функций преобразования координат при разбиении  криволинейных областей  на конечные элементы.

 

Поскольку  формулы  интерполяции  получены для случая равноотстоящих узлов, то для  корректного их использования   требуются исходные данные удовлетворяющие этим   требованиям. Тем не менее во втором случае  в  определенных пределах  допускают  нарушение требований  эквидистантности узлов, так как  это   не создает значимых ошибок, а создает лишь  определенную  степень  неравномерности разбивки  области на  конечные элементы  -  з а г у щ е н и е  их в одном месте и  разреженность в другом.  Для квадратичных и кубических элементов     допустимые условия  нарушения эквидистантности  известны.  Нарушение допустимых условий  приводит к  катастрофическим  ошибкам.  Практика подготовки данных   для моделирования криволинейных областей показывает,  что допустимые условия, как правило,  н а р у ш а ю т с я. 

Очевидно,  чтобы  избежать ошибок, надо ликвидировать их источник  -  отказаться от  изопараметрических  моделей  и  использовать неизопараметрические.

Поскольку  в  литературе  о  неизопараметрических  моделях мы  ничего не нашли ,  мы  создали такие  модели  сами.:  получили формулы для функций формы  квадратичных конечных  элементов ( одномерный, двумерный  и трехмерные случаи) для полного  квадратичного  полинома  и  для некоторых  его редуцированных форм. Например, при  двумерном случае  для полного полинома требуется задание 9  узлов интерполяции, то на практике чаще используют 8-членный квадратичный полином  и , соответственно , 8 узлов.   Это мотивируется  стремлением  задавать узлы только на границе области.  По этой причине часто не используют  член  полинома , соответствующий произведению квадратов  по всем переменным .

Подробности смотрите в нашей работе Quadratic functions of shape finite elements with unequally-spaced nodes, размещенной на данной странице.